Probabilidade

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Praticar para aprender

Caros estudantes, estamos iniciando a terceira e última seção da unidade de bioestatística. Nela vamos aprofundar ainda mais nossos conhecimentos sobre as medidas de dispersão e sobre a probabilidade, além de estudar sobre os principais conceitos dos testes de hipótese.
Partiremos dos conhecimentos já adquiridos até aqui sobre estatística descritiva dos dados e avançaremos no estudo da estatística inferencial, aquela que nos permite tirar conclusões sobre características de uma população a partir de uma amostra.
Assim, iniciaremos a seção apresentando o conceito e a aplicabilidade dos quartis, demonstrados com exemplos para melhor compreensão. Adiante, trataremos das medidas de dispersão: amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação, conceitos fundamentais que nos permitem conhecer melhor um conjunto de dados para além das medidas de posição já vistas até aqui. Outros pontos abordados serão o cálculo de probabilidade básico e os conceitos sobre intervalo de confiança. Por fim, os conceitos gerais de teste de hipótese e alguns dos principais testes estatísticos utilizados pela área da saúde serão descritos.
Novamente, todos os assuntos serão amplamente exemplificados e contextualizados para melhor compreensão e internalização. Bons estudos!
Tomando como base os conteúdos apresentados nesta seção, vamos imaginar uma situação hipotética na qual um grupo de gestores e profissionais da saúde de um município do Sudeste brasileiro se reúne para averiguar os resultados de testes que avaliaram o conhecimento sobre medidas de prevenção contra a Covid-19 em usuários idosos, com capacidade cognitiva preservada, de duas instituições de longa permanência (instituições A e B).
Os integrantes desse grupo decidiram que a nota 6,0 seria a média considerada desejável e obtiveram os seguintes resultados:
Média das notas dos idosos da instituição A: 6,0
Média das notas dos Idosos da instituição B: 6,0
Os gestores e profissionais envolvidos ficaram satisfeitos com os resultados, considerando o perfil da população, e atribuíram os resultados positivos a programas de educação em saúde promovidos pelo município. Concluíram, portanto, que as medidas educativas haviam sido suficientes e que não havia necessidade de outras intervenções em nenhuma das instituições. Você, profissional que acaba de se juntar à equipe, concorda com os demais membros do grupo?
Para auxiliá-lo na decisão, estão adiante as notas de cada um dos idosos das duas instituições.

Estamos chegando ao final da unidade de bioestatística e você, futuro profissional, estará pronto para utilizar mais esta ferramenta em sua jornada profissional para fazer a diferença!

conceito-chave

Medidas separatrizes: quartis, decis e percentis

Os quartis são observações ou medidas de localização que dividem o rol (a sequência ordenada de dados) em quatro partes de igual valor, as quais são, portanto, apresentadas em primeiro, segundo e terceiro quartil ou Q₁, Q₂ e Q₃, respectivamente. 
Há também os decis, que dividem o rol em dez partes iguais, e os percentis, que o dividem o rol em cem partes iguais.
A partir de agora, direcionaremos nossos estudos para os quartis, valores dados a partir de uma série de elementos dispostos em ordem crescente, que dividem a distribuição em partes iguais. Sendo: Q₁ = número que deixa 25% abaixo e 75% acima; Q₂ = será sempre igual à mediana, deixa 50% das observações abaixo e 50% acima; e Q₃ = número que deixa 75% das observações abaixo e 25% acima.
Para melhor compreensão vamos acompanhar o seguinte exemplo:
A variável peso, de pacientes internados em uma clínica médica, é representada a seguir:

Rol: 73 – 74 – 77 – 52 – 85 – 59 – 73 – 84 – 92

A partir desse conjunto vamos determinar os quartis (Q₁, Q₂ e Q₃):
1º passo: devemos organizar o nosso rol de observações em ordem crescente.

Rol: 52 – 59 – 73 – 73 – 74 – 77 – 84 – 85 – 92

2º passo: note que esse conjunto apresenta número ímpar de dados. Agora, deveremos identificar o valor central dele, o que, nesse caso, fica fácil, já que é um conjunto com poucos elementos, mas, para conjuntos maiores, você deverá somar o número total de elementos do conjunto (nesse caso 9) + 1 e dividir por 2, o resultado dará a posição em que o valor central se encontra, ou seja, 9+1 = 10/2= 5. Logo o valor na quinta posição do conjunto representa o valor central.

Rol: 52 – 59 – 73 – 73 – 74 – 77 – 84 – 85 – 92

Lembre-se de que o segundo quartil (Q₂) é igual à mediana, logo podemos dizer que Q₂ = 74.
3º passo: para calcular Q₁ e Q₂, é necessário calcular a mediana à direita e à esquerda do conjunto. Para tal, deve-se identificar os valores centrais novamente e fazer o cálculo da mediana.

Q₁ = 59+73/2 = 122/2 = 66
Q₂ =  74
Q₃ = 74
Caso o conjunto seja formado por um número par de elementos, para conhecer a mediana (Q2), deve-se somar os dois números centrais e dividir por dois.
Exemplo:

Rol: 52 – 59 – 73 – 73 – 74 – 77 – 84 – 85 – 92 – 93

Como o conjunto em questão possui dez elementos, deveremos descobrir Q2 somando os dois valores centrais, que serão divididos por 2.

Rol: 52 – 59 – 73 – 73 – 74 – 77 – 84 – 85 – 92 - 93

Q₂ = 74+77/2= 75,5.
Como pudemos observar, nem o elemento 74, nem o 77 representam a mediana, logo eles deverão ser considerados para encontramos os quartis restantes (Q1 e Q3).

Rol: 52 – 59 – 73 – 73 – 74 – 75,5 – 77 – 84 – 85 – 92 - 93

Agora é só identificar o valor central à esquerda e à direita!

Rol: 52 – 59 – 74 – 73 – 74 – 75,5 – 77 – 84 – 85 – 92 - 93

Resultados para o conjunto com número par de elementos serão:
Q₁ = 73
Q₂ =  75,5
Q₃ = 85

Medidas de dispersão

Como já vimos na seção anterior, para que seja possível caracterizar adequadamente uma série de dados, é necessário expressar as tendências do conjunto em números ou estatísticas. Para tal, utilizamos as medidas de posição, já apresentadas, e as medidas de dispersão.
As medidas de dispersão auxiliam as medidas de tendência central a melhor descrever a série de dados, pois é capaz de identificar a distância que os elementos de um conjunto estão uns dos outros. Logo, podemos dizer que a finalidade das medidas de dispersão é encontrar um valor que seja capaz de resumir a variabilidade de um conjunto de dados.

Com o intuito de que você compreenda melhor, vamos tomar como exemplo a seguinte série de dados:

É possível notar uma variabilidade diferente entre os elementos de cada conjunto (alunos A e B), porém, quando calculamos a média aritmética, encontramos valor igual: ambos têm média geral 7 entre todas as matérias, como podemos ver nos cálculos abaixo.

Média do Aluno A = $\frac{7+10+6+8+4}{5}$ = 7

Média do Aluno B = $\frac{\mathrm{7,5}+6+7+\mathrm{6,5}+8}{5}$ = 7

É possível notar que o Aluno A apresentou maior variabilidade nas notas para alcançar a média 7, já o Aluno B alcançou a mesma média com notas mais uniformes. 
Então, nesse caso, o que poderemos fazer para melhor diferenciar essas duas distribuições? Utilizaremos esse exemplo para explicar: amplitude, variância e desvio padrão.
Amplitude: uma das formas de medir a dispersão de um conjunto de dados. A amplitude de uma série de dados é representada pela diferença entre o maior e o menor elemento do conjunto, ou seja, consiste em, basicamente, subtrair o menor elemento do maior.
Tomando como base o exemplo da média dos alunos A e B, temos:
Amplitude: 
Aluno A: 10 – 4 = 6
Aluno B: 8 – 6 = 2
Note que a amplitude dos dados do Alunos A é maior que a do B, logo podemos dizer que os dados (ou notas) do Aluno A estão mais dispersos do que os do Aluno B, em relação à média.
Essa medida, no entanto, dá-nos apenas noção da distância entre o menor e o maior valor do conjunto. Para entender melhor a dispersão entre os elementos, falaremos sobre a variância e o desvio padrão.
Variância: é uma medida de dispersão que demonstra quão distante cada elemento do conjunto está do valor central ou média. A variância é representada pelo símbolo sigma ao quadrado (σ2). Para calculá-la é preciso seguir as etapas adiante:

1. É necessário, primeiramente, identificar a média do conjunto de dados. Nesse caso, como estamos seguindo o mesmo exemplo das notas dos Alunos A e B, temos média 7.

   Média do Aluno A = $\frac{7+10+6+8+4}{5}$ = 7

   Média do Aluno B = $\frac{\mathrm{7,5}+6+7+\mathrm{6,5}+8}{5}$ = 7

2. Verificar a diferença entre cada um dos elementos com relação à média, ou seja, subtrair os elementos do valor da média e elevá-los ao quadrado.

   Variância $\text{(}{\sigma }^2\text{)}$ = $\frac{{(7-7)}^2+{(10-7)}^2+{(6-7)}^2+{(8-7)}^2+{(4-7)}^2}{5}$ =

   Continuando:

   Variância $\text{(}{\sigma }^2\text{)}$ = $\frac{{\left(0\right)}^2+{\left(3\right)}^2+{(-1)}^2+{\left(1\right)}^2+{(-3)}^2}{5}$ = 4

3. Agora deve-se calcular uma segunda média. Para tal, basta dividir os valores encontrados ao elevar cada um dos elementos ao quadrado pelo número de elementos do conjunto.

   Variância $\text{(}{\sigma }^2\text{)}$ = $\frac{0+9+1+1+9}{5}$ = $\frac{20}{5}$ = 4

A variância (${\sigma }^2$) do conjunto de notas referentes ao Aluno A será igual a 4.

Logo, pelos resultados apresentados, podemos dizer que as notas do Aluno B apresentam menor variância, o que significa que os elementos estavam mais próximos do valor central do que as notas obtidas pelo Aluno A.
Desvio Padrão (DP): representa a uniformidade ou o grau de dispersão de determinado conjunto de dados. Quanto mais próximo esse valor for de zero, maior será a homogeneidade dos dados.
Para calcularmos o DP dos dados, devemos encontrar a raiz quadrada da variância.
DP do Aluno A = $\sqrt{4}=2$
DP do Aluno B = $\sqrt{\mathrm{0,5}}\cong \mathrm{0,71}$Ou seja, embora ambos tenham alcançado a mesma média geral, encontramos valores diferentes de variação entre os conjuntos.
Podemos dizer, então, que, em média, as notas do Aluno A se afastaram 2 pontos ou duas unidades, para cima ou para baixo, em relação à média.
O DP resultante das médias do Aluno B demonstra que houve menor variação em torno da média, sendo, aproximadamente, 0,71 unidades para cima ou para baixo em relação à média.
Coeficiente de variação: é também conhecido como Desvio Padrão Relativo e é interpretado como a variabilidade dos dados em relação à média, sendo expresso usualmente em porcentagem. Quanto menor o coeficiente de variação, mais homogêneo são os dados do conjunto.
Para exemplificarmos isso, tomaremos ainda o mesmo exemplo das notas dos Alunos A e B.
Nesse caso, já temos todos os valores de que necessitamos para o cálculo, sendo eles o Desvio Padrão e a média, bastando agora apenas substituí-los na fórmula e operacionalizarmos o cálculo.
Fórmula:

 $CV=\frac{Desvio\text{ Padrão}}{Média}x100$

CV do Aluno A = $\frac{2}{7}x100$ = $\mathrm{0,2857}x100$ = 28,57 ou 28,6

CV do Aluno B = $\frac{\mathrm{0,71}}{7}x100$ = $\mathrm{0,1014}x100$ = $\mathrm{10,14}\text{ ou }\cong \text{10,1\%}$

Os resultados mostram, mais uma vez, que as notas do Aluno B apresentaram menor variação em relação à média, sendo a taxa identificada de 10,14%, enquanto o Aluno A apresentou coeficiente de variação mais elevado (28,57%).

Probabilidade

É o ramo matemático que se dedica ao cálculo das chances de ocorrência de um fenômeno ou experimento, como a probabilidade de se obter cara ou coroa no lançamento de uma moeda ou, ainda, a chance de se tirar seis em uma rolagem de um dado com seis faces.
Para compreender melhor probabilidade é necessário conceituar alguns termos amplamente utilizados em seu estudo.
Espaço amostral: representado pela letra ômega (Ω), é definido como o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. Exemplo: ao lançar um dado não viciado, o espaço amostral (Ω) será igual ao conjunto: 1, 2, 3, 4, 5, 6, pois estes são os possíveis resultados de um dado com seis faces.
Evento: é o resultado esperado, ou seja, o evento que se quer investigar. Exemplo: ao rolar um dado, qual a probabilidade de se obter um resultado acima de 4? Nesse caso o evento será representado por uma letra maiúscula A = 5, 6. Estes seriam os possíveis resultados acima de 4, ou seja, o evento que se deseja investigar é a chance dessa ocorrência.
Fórmula:

Probabilidade (P) = $\frac{Parte}{Todo}$ ou seja, $\text{P = }\frac{\mathrm{Re}sultadosFavoráveis}{\text{Resultados Possíveis}}$ 

Parte ou resultados favoráveis: são aqueles resultados favoráveis à sua pergunta, ou seja, em nosso exemplo, desejamos saber qual a probabilidade de se obter acima de 4 em um dado. Sabemos que acima de 4 há os valores 5 e 6, ou seja, há dois resultados possíveis para o evento desejado.
Todo ou resultados possíveis: são todos os resultados possíveis de se obter em um dado. Nesse caso temos 6 resultados possíveis (podemos obter os resultados 1, 2, 3, 4, 5 e 6).

Probabilidade (P) = $\frac{2}{6}$ e simplificando por 2 temos $\frac{1}{3}$

A probabilidade pode ser expressa não só por número fracionário, mas também por números decimais. Nesse caso, $\frac{1}{3}\cong \text{ 0,333}$. Ou pode ser expresso, ainda, em taxa decimal, multiplicando-se o valor por 100 $\cong$ 33,3%.

Intervalo de confiança

O intervalo de confiança (IC) é utilizado para indicar a confiabilidade de uma estimativa. Como já vimos em outras seções, a maioria dos estudos científicos utilizam amostras populacionais para responder seus questionamentos, já que estudar populações inteiras inviabilizaria a maioria dos protocolos de pesquisa, seja pela logística de coleta de dados, seja pela escassez de recursos humanos e/ou materiais para sua realização. A questão que surge é: como assegurar que a amostra selecionada refletirá as características que queremos observar na população-alvo? 
Esse questionamento é legítimo, pois muitos cuidados devem ser tomados no momento da seleção da amostra, questão também já discutida nas seções anteriores. Nesse sentido, a estatística apresenta ferramentas capazes de minimizar a possibilidade desse tipo de erro, dentre elas discutiremos mais a fundo o IC.
O IC diz respeito ao nível de confiança, por meio de uma estimativa para um parâmetro populacional, obtido a partir de elementos amostrais, os quais se espera que contenham o valor do parâmetro populacional com um nível de confiança que, geralmente, vai de 90 a 99%.
É importante ressaltar o risco de erro na construção de um intervalo de confiança. Por exemplo, se o nível de confiança é de 95%, o risco de erro da inferência estatística será de 5%.

Há vários cálculos para o IC, mas vamos focar no cálculo para a média, o qual pode ser usado para conhecer o desvio padrão populacional ou para amostras grandes com trinta ou mais elementos.
Fórmula do cálculo do IC para média:

 $\overline{X}\pm \text{ Zc x }\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

Sendo:
$\overline{X}$ = a média.
Zc = Z crítico é representado por valores disponíveis na tabela de distribuição normal padrão, sendo os valores mais utilizados os de 1,96 para 95% de confiança; 1,64 para 90% de confiança; e 2,57 para 99% de confiança. São valores padrão.
σ = Desvio Padrão Populacional.
$\sqrt{n}$ = tamanho da amostra.
Exemplo de cálculo:
Tem-se uma amostra de 100 participantes e encontra-se uma média de 24 anos entre os participantes. Sabendo que a variância das idades é de 16 anos, construa um intervalo de 95% de confiança para a média.

1. É necessário compreender que, neste caso, o que estamos fazendo é calcular a margem de erro para a média. $\overline{X}\pm \text{ Zc x }\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

2. Calcular a margem de erro, representado pela letra E.

    $E=\text{Zc x }\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

   Substituímos os valores:
   Note que o exemplo apresenta apenas a variância das idades, que é 16, porém não há o valor do Desvio Padrão (DP). Sabemos, no entanto, que o DP é igual a raiz quadrada da variância. Sendo a variância 16, podemos dizer, então, que o DP é igual a 4.
   O valor de Z crítico será 1,96, pois o intervalo de confiança pedido foi de 95%. Sendo a amostra composta por 100 participantes, logo teremos:
   

    $E=\mathrm{1,96}x\frac{4}{\sqrt{100}}$

3. Efetuar o cálculo da margem de erro:

    $E=\frac{\mathrm{7,84}}{10}=\mathrm{0,784}$

4. Apresentar o resultado para o intervalo de 95%:
   Vamos relembrar que a fórmula do IC, que nada mais é que a média, mais ou menos a margem de erro, parte da fórmula representada anteriormente.
   

   Logo: $\overline{X}\pm \text{ E = (24 }\pm \text{0,784 )}$ anos

Assim sendo, pode-se concluir que esse intervalo está, mais ou menos, 0,784 a partir da média 24, entre 23,216 e 24,784, para IC de 95%.

Testes de hipótese

Consiste em uma metodologia que auxilia na tomada de decisão sobre uma ou mais populações obtidas a partir de informações extraídas de uma amostra por meio de inferência estatística. É a partir do teste de hipótese que podemos avaliar a veracidade de um ou mais parâmetros populacionais.
Para realizar o teste de hipótese, inicialmente, devemos admitir um valor hipotético para um parâmetro populacional, o qual pode ser a variável altura, peso ou qualquer outro parâmetro que se deseja observar na população e que pode ser obtido a partir de uma amostra. Com base nas informações dessa amostra, é feito um teste estatístico que aceitará ou rejeitará esse valor hipotético assumido.

Para que seja possível testar um parâmetro populacional, é necessário afirmar um par de hipóteses. Uma hipótese deverá representar a afirmação do parâmetro e a outra seu complemento. Dessa forma, quando uma das hipóteses for falsa, a outra automaticamente será verdadeira. Elas são chamadas de hipótese nula e hipótese alternativa.
Hipótese nula (${\text{H}}_0$): hipótese estatística que possui uma afirmação de igualdade, como menor ou igual, igual ou maior ou igual ($\le$, = ou $\ge$).
Hipótese alternativa (${\text{H}}_{\mathrm{a}}$): é o complemento da hipótese nula. Será verdadeira caso a outra seja falsa e vice-versa. Contém afirmação de desigualdade estrita, como menor, diferente ou maior (<, ≠ ou >).
Exemplo:
$\mu$ = a letra grega “mi” representa, em estatística, a média populacional.
K= representa um número real.

 $\left\{\begin{array}{l}{\text{H}}_0:\mu \text{ = K}\\ {\text{H}}_a:\mu \ne \text{ K}\end{array}\right.\left.\begin{array}{r}\\ \end{array}\right\}$

A hipótese nula diz que a média populacional é igual a K, já a hipótese alternativa diz que a média populacional é diferente de K. É importante observar que esse contraste sempre ocorrerá entre as hipóteses, pois uma sempre deverá ser o oposto complementar da outra, ou seja, se a hipótese nula é falsa, a alternativa é sempre verdadeira e também o contrário é verdadeiro.
Para visualizarmos melhor o exemplo, imaginemos que estamos avaliando a média de altura populacional. Vamos tomar como valor hipotético a altura de 1,65, obtida a partir de uma amostra dessa população.
Logo, poderíamos supor que a hipótese nula diz que a média de altura da população é igual ou menor que 1,65. A hipótese alternativa será de que a média de altura da população é superior a 1,65.

 ${\text{H}}_0:\mu \le \text{ 1,65}$

 ${\text{H}}_a:\mu \text{ > 1,65}$

No processo de aceitar ou refutar uma hipótese, podem ocorrer alguns tipos de erros, denominados: Erro Tipo I (α) e Erro Tipo II (β).
Erro Tipo I: é o erro de rejeitar ${\text{H}}_0$, sendo ${\text{H}}_0$ verdadeira.
Erro Tipo II: é o erro de aceitar ${\text{H}}_0$, sendo ${\text{H}}_0$ falsa.
Logicamente, o objetivo do tomador de decisões é diminuir, ao mínimo, a probabilidade de ocorrência dos dois tipos de erros. Porém, à medida que a probabilidade de ocorrência do Erro Tipo I diminui, aumenta a probabilidade do Erro Tipo II e vice-versa.
A única forma de diminuir o risco dos dois tipos de erros simultaneamente é aumentando o tamanho da amostra, porém, como já falamos, isso nem sempre é possível.
Fórmula de teste de hipótese para média populacional com variância conhecida:
$\overline{X}$ = a média amostral
$\mu$ = a média populacional testada (sob ${\text{H}}_0$)
σ = Desvio Padrão Populacional
√n = raiz quadrada do tamanho da amostra

 ${\text{Z}}_{obs}\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$

Testes T: são testes de hipótese utilizados para comparar as médias de uma amostra com uma população, comparar duas amostras pareadas ou duas amostras independentes.
E assim chegamos ao fim de mais uma unidade. É hora de revisarmos todos os conceitos e compreendermos a forma como cada assunto se relaciona com as outras áreas e com nossa prática profissional. A bioestatística é uma ciência rica e complexa que se relaciona com todos os saberes e é ferramenta indispensável para a manutenção e para a proteção à saúde em nossa sociedade.

Faça valer a pena

Referências

BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. E-book. 

CALLEGARI-JAQUES, S. M. Bioestatística: princípios e aplicações. Porto Alegre: Artmed, 2007. E-book. 

CARVALHO, S.; CAMPOS, W. Estatística básica simplificada. Rio de Janeiro: Juspodivm, 2016. 

FEIJOO, A. M. L. C. de. Medidas de tendência central. In: FEIJOO, A. M. L. C. de. A pesquisa e a estatística na psicologia e na educação. Rio de Janeiro: Centro Edelstein de Pesquisas Sociais, 2010. p. 14-22. Disponível em: https://bit.ly/2TrR3VM. Acesso em: 10 jan. 2021.

GUEDES, T. A.; JANEIRO, V.; MARTINS, A. B. T.; ACORSI, C. R. L. Estatística descritiva. In: GUEDES, T. A.; JANEIRO, V.; MARTINS, A. B. T.; ACORSI, C. R. L. Projeto de Ensino: aprender fazendo estatística. [S. l.: s. n.], 2005. Disponível em: https://bit.ly/35ql7U9. Acesso em: 18 jan. 2021.

MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de Probabilidade e Estatística. São Paulo: EDUSP, 2008.

REIS, E. A., REIS I. A. Análise Descritiva de Dados. Relatório Técnico do Departamento de Estatística da UFMG. Belo Horizonte: UFMG, 2002. Disponível em: https://bit.ly/3cFjciQ. Acesso em: 10 jan. 2021.