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Nesta webaula vamos conhecer os números naturais. Vamos aprender a construí-los e entender a origem das operações de adição e multiplicação.

Números naturais

A ideia central da construção dos números naturais é a noção de que todo número natural possui um sucessor (o equivalente de "somar 1" ao número). Esse sucessor deve ser único para cada número, e números diferentes devem ter sucessores diferentes. Assim, a partir do primeiro elemento do conjunto (o número 1), todos os outros serão obtidos (a questão se o zero deve ou não ser incluído nos números naturais não vem ao caso no momento; do ponto de vista descrito acima bastaria, ao inseri-lo, considerá-lo como o primeiro elemento do conjunto, cujo sucessor será 1). Formalmente, essa construção se dá por meio dos axiomas de Peano, nome esse que faz referência ao matemático Giussepe Peano (1858-1932).
Vamos conhecer os axiomas. Para isso, vamos considerar $ℕ$ o conjunto dos números naturais (a ser construído) e postulamos que $ℕ$ tem as seguintes propriedades (LIMA et al., 2006):

Essas três propriedades são as chamadas de axiomas de Peano e são suficientes para a construção dos números naturais e das operações de adição e multiplicação, como veremos. Do primeiro axioma segue que, se $m \neq n$ , então $s (m) \neq s (n)$ , isto é, a primeira propriedade faz referência às funções injetoras, ou seja, não há dois elementos distintos no domínio com a mesma imagem, e também fala sobre a sequência de números que possuem sucessores (é imprescindível para a boa fixação dos conteúdos que você, estudante, faça no papel todas as passagens mencionadas aqui e que não foram demonstradas, e refaça todas as demonstradas, de preferência consultando o texto somente ao final da demonstração). O segundo axioma trata especificamente do número 1, que, apesar de possuir um sucessor, é o único que não é sucessor de nenhum outro. O terceiro axioma, denominado princípio da indução, é a base para a construção das operações de adição e multiplicação, assim como a demonstração de diversas propriedades dos números naturais.

Vamos então a essas operações. A adição, que associa ao par (m,n) o número m+n, é definida da seguinte maneira, a partir dos axiomas de Peano:

$m + 1 = s (m)$

$m + s (n) = s (m + n)$

Ao substituir s(n) por n + 1 e s(m + n) por (m + n) + 1, obtemos:

$m + (n + 1) = (m + n) + 1$

Note que utilizamos aqui somente as definições dadas nos axiomas 1 e 2, de modo que a construção não depende de nenhuma outra estrutura que não as já apresentadas. Ainda mais, as equações acima são válidas para qualquer número natural. Já a multiplicação de dois números, que associa ao par (m,n) o número $m \cdot n$ , é obtida a partir das seguintes definições:

$m \cdot 1 = m$

$m \cdot s (n) = m \cdot n + m$

onde a operação de multiplicação deve ser feita sempre primeiramente à operação de adição.
Assim temos, rearranjando as equações: $m \cdot (n + 1) = m \cdot n + m$
Pelo terceiro axioma de Peano, o princípio de indução, mostra-se que:

$m + (n + p) = (m + n) + p$ (associatividade da adição)
$m \cdot (n + p) = m \cdot n + m \cdot p$ (distributividade – relaciona a adição com a multiplicação)
$m + n = n + m$ (comutatividade da adição)
$m \cdot n = n \cdot m$ (comutatividade da multiplicação)

Você conheceu as principais características do conjunto dos números naturais. Lembre-se de que é importante destrinchar todas as passagens do texto que estudamos para seu aprendizado.

Análise Matemática

Construção dos números reais

Números naturais